Wie hoch ist denn die Nachzahlung?
Man kann natürlich jetzt alles falsch, aber auch alles richtig machen.
Ich würde auf das Kautionsschreiben verweisen, auf welches die Kaution ausgezahlt wurde und dies als Beleg dafür benennen, dass dem Vermieter meine zweite Verzugsanschrift bekannt war. (Bluff)
Insofern würde ich die Nachzahlung negieren, da die Abrechnung nicht fristgerecht zugegangen ist.
Und dann natürlich hoffen, dass der Vermieter nicht klagt, denn dann kann es nach hinten losgehen. Denn dann müsste ihr beide etwas beweisen:
Du musst stichhaltig beweisen, dass Du den Vermieter über deine erneute Adressänderung in Kenntnis gesetzt hast. Solltest Du das nicht können, braucht der Vermieter nur zu beweisen, dass er das Schreiben versucht hat an die alte Verzugsadresse zu versenden, da für ihn der erneute Umzug nicht bekannt war.
Aber ein Anwalt ist natürlich meistens sicherer.