Wenn der zugesicherte Einzugstermin nicht eingehalten wird, kannst Du gegenüber dem Vermieter entsprechende Schadenersatzforderungen geltend machen oder sogar fristlos kündigen.
Ich würde dem Vermieter hier einfach mal anbieten, sofort aus der Ersatzwohnung auszuziehen und in der Übergangszeit ein Hotelzimmer zu beziehen. Die Möbel lässt Du dann irgendwo einlagern.
Die Hotel- und Einlagerungskosten überreichst Du dann dem Vermieter.
Ansonsten kann er ohne Vereinbarung natürlich im Nachhinein keine Kosten verlangen.