Hallo Lile,
du hast dich glaube ich etwas verwirren lassen von der wenig aussagekräftigen Antwort. Der alte Vertragsentwurf darf natürlich noch verwendet werden. Es ist nicht so, dass der Vertrag insgesamt ungültig oder unwirksam ist, wenn man einen alten Entwurf verwendet. ABER sicherlich sind einige der Klauseln darin nicht mehr wirksam.
Maßgeblich für die Wirksamkeit bestimmter Klauseln ist nicht die Fassung des Vertragentwurfs, den man verwendet, sondern zu welchem Datum der Vertrag abgeschlossen wurde. Danach richtet es sich, welche gesetzliche Lage gilt.
Es ist richtig, dass für die Anwendbarkeit des §549 II BGB sich der Vermieter vertraglich zur Möblierung verpflichtet haben muss. Mündliche Abreden können dabei auch gelten, aber ist ist dabei immer problematisch, ob diese ausrechend beweisbar sind. Und die Mutter als nahestehende (parteiische) Familienangehörige ist manchmal nicht so glaubwürdig wie eine neutrale Person. Das kann vielleicht ein Problem werden.
Die Tatsache, dass ein Aufschlag zur Miete für die Möblierung berechnet wurde, kann eventuell auch ein Anscheinbeweis sein, dass eine Moblierung vereinbart wurde.
Aber das sind nur allgemeine Hinweise zu dem Thema. Ob du tatsächlich wirksam kündigen kannst nach §549 II BGB dürfen wir nicht beantworten, sondern nur ein Anwalt. Du müßtest bei einem Anwalt eine Beratung in Anspruch nehmen, wenn du es genau wissen möchtest. Oder du versuchst es einfach mit der Kündigung, vielleicht nimmt der Vermieter diese so an und bestätigt dir entsprechend das Vertragsende.