darf der Vermieter die Wohnung einfach so ohne Ankündigung betreten?
Eine offen stehene Tür ist keine Einladung, dass man herein kommen kann. Selbst wenn gar keine Tür vorhanden wäre, dürfte man es nicht einfach so. Es ist wahrscheinlich der Straftatbestand des Hausfriedenbruchs erfüllt und ein Eingriff in die Privatsphäre des Mieters.
Hat der Mieter diesen Schaden [an der Dunstabzugshaube] zu beheben?
Wenn nachgewiesen kann, dass der Schaden schon bei Einzug bestand, sieht es für die Forderung des Vermieters schlecht aus.
Ist der Mieter dazu verpflichtet, die Leuchte wieder funktionsfähig zu bekommen?
Nein. Das ist eine Instandhaltung, für prinzipiell der Vermieter verantwortlich ist. Streng nach Gesetz genommen müsste man noch nicht mal das Leuchtmittel austauschen, was viele nicht wissen.
Muss der Mieter für die Reparaturzahlungen [für den Boden] aufkommen?
Nach der Beschreibung scheint es eine normal übliche Verschlechterung zu sein und keine Schuldhaftigket des Mieters dahinter stehen, was dann grundsätzlich zulasten des Vermieters ginge.
Wie soll der Mieter jetzt auf diese Mail reagieren?
Ich denke, das kannst du jetzt selbst entscheiden mit den obigen Informationen. Die Frage ist aber doch erst mal, ob du überhaupt antworten möchtest oder nur zurück schreiben, dass du nicht bereit bist, über die Punkte zu diskutieren, da der Vermieter rechtswidrig in der Wohnung war. Man muss ja nicht gleich Anzeige erstatten, es gibt noch andere Wege, dem Vermieter seinen Fehler unter die Nase zu halten.