Erst mal, der Sohn der Vermieterin ist nicht Dein Vertragspartner. Das solltest Du ihm gegenüber deutlich machen.
Zu den Besichtigungen mit Mietinteressenten:
So einfach wie Du denkst ist es nun auch wieder nicht. Es ist Sache des Vermieters die Wohnung Mietinteressenten vorzuführen, nicht die des Mieters. Da wirst Du Dir schon gefallen lassen müssen das dieser sein Recht persönlich wahr nimmt. Das kann er auch an einen Dritten "delegieren" z. B. einen Makler oder Familienangehörigen. Dieser müßte dann allerdings eine Originalvollmacht des Vermieters vorweisen.
Mein Standartrat zu Besichtigungsterminen:
Als Mieter legt man 1 - 2 Termine a ca. 45 Minuten pro Woche, einen wenn möglich am Samstag, fest und teilt diese nachweisbar dem Vermieter und einer evtl. mit der Neuvermietung beauftragten Person mit.
Sonn- und Feiertage sind für Besichtigungen tabu.