wir sollten nur anteilig alle anfallenden Kosten bezahlen
Dafür gibt es zwei Möglichkeiten, als Pauschale, oder als Vorauszahlung mit jährlicher Abrechnung. Wenn Letzteres zutrifft, kann man eine Abrechnung verlangen.
Allerdings bekomme ich weder einen Mietvertrag
Das ist ungünstig. Denn dann ist es auch kein Mietverhältnis, sondern eine Leihe. Das bedeutet, man hat keinen Mieterschutz und es kann einem jederzeit ohne Angabe von Gründen gekündigt werden.
er ohne Plausibilität und ohne Nachprüfbarkeit die von mir zu tragenden Kosten auflistet
Wenn die Berechnung nicht überprüfbar ist, dann kann auch kein Geld verlangt werden. Wer etwas zahlen muss, hat sehr wohl das Recht zu wissen, wofür genau.
Was, für mich verständlich, die Behörde so nicht akzeptiert.
Die Behörde hat normalerweise Formulare für eine Vermieterauskunft über die Kosten. Das kann man verlangen, denn der Vermieter ist nach dem Gesetz zur Mitwirkung verpflichtet.
Ich würde nun eben notgedrungen mit der Sache zu einem Mieterverein gehen und mich dazu beraten lassen.
Da wird Ergebnis wird nur leider nicht erfreulich sein, denn man wird das erklären, was ich oben schon schrieb. Zahlen muss man die Kosten nicht, aber gekündigt werden kann man dann jederzeit.
wenn er mich aus der Wohnung rausschmeißen sollte bin ich obdachlos
Dann zum Wohnungsamt der Stadt gehen. Die haben da Möglichkeiten.