Grundsätzlich gibt es diese Rechtsgrundlage: § 536a BGB
(1) Ist ein Mangel im Sinne des § 536 bei Vertragsschluss vorhanden oder entsteht ein solcher Mangel später wegen eines Umstands, den der Vermieter zu vertreten hat, oder kommt der Vermieter mit der Beseitigung eines Mangels in Verzug, so kann der Mieter unbeschadet der Rechte aus § 536 Schadensersatz verlangen.
(2) Der Mieter kann den Mangel selbst beseitigen und Ersatz der erforderlichen Aufwendungen verlangen, wenn1.der Vermieter mit der Beseitigung des Mangels in Verzug ist oder
2.die umgehende Beseitigung des Mangels zur Erhaltung oder Wiederherstellung des Bestands der Mietsache notwendig ist
Allerdings ist die Ersatzvornahme nicht ohne Risiko. Zum einen muss die Ausführung dann auch fachlich korrekt sein. Eine fehlerhafte Ausführung kann zu weiteren Bauschäden führen, insbesondere bei der Witterung ausgesetzten Bauteilen. Wenn es später wegen fehlender Abdichtung, falsches Gefälle...zu Wassereintritt ins Gebäude kommt, ist fraglich, wer am Ende dafür haften muss, insbesondere nach Ablauf der Gewährleistung. Besonders spannend wird es, wenn es eine Wohnung in einer Eigentümergemeinschaft ist, denn dann dürfte auch Gemeinschaftseigentum betroffen sein.
Darüber hinaus habt ihr eine Schadenverminderungspflicht, sodass ihr vermutlich mehrere Kostenvoranschläge einholen müsstet.
Ich kann verstehen, dass ihr natürlich im Sommer den Balkon nutzen wollt, allerdings kann ich nur raten, da professionelle Hilfe hinzuziehen. Dies auch im Hinblick darauf, dass die Summe unter Umständen in einen Bereich kommen könnte, die eine Kündigung rechtfertigen würde, wenn ihr zur Ersatzvornahme und damit zur Verrechnung mit der Miete nicht berechtigt gewesen wäre, weil es Fehler im Vorgehen gab. Evtl wäre es möglich, sich vorübergehend anders zu behelfen, beispielsweise mit Rasenteppich, Holzfliesen o.ä.