Hallo KommFort,
ja, der Vermieter darf die aufgeführten Unterlagen anfordern (allerdings nur entweder Bürgschaft ODER Kaution).
Er kennt Sie ja nicht und muss -soweit dies überhaupt möglichist- prüfen, ob Sie die Mietzahlungen auch tatsächlich leisten können.
Die Frage nach der Art der Krankheit ist insofern gerechtfertigt, als dass sie möglicherwiese mietvertragsrelevant wäre (das Zusammenleben mit den anderen Mietern muss ja auch berücksichtigt werden. Der Begriff Krankheit sagt viel und gleichzeitig nichts aus.). Die Gesetzeslage hierzu kenne ich leider nicht. Allerdings darf z.B. ein Arbeitgeber auch nach der Art der Krankheit fragen, wenn es für die Ausübung der Tätigkeit relevant ist.
Auch, dass Sie "bis auf weiters" krank sind, ist etwas anderes, als wenn Sie kurzfristig krank sind (Grippe, Knochenbruch od.ä.). Das macht schon einen großen Unterschied. Dass Sie dann auch nicht erwähnen möchten, um WELCHE Krankheit es sich handelt, trägt nicht zur Vertrauensbildung zwischen potentiellem Mieter und Vermieter bei.
Dass der Vermieter beim zweiten Amruf nicht mehr Ihre Vita kenntt, ist wohl der hohen Nachfrage von Interessenten geschuldet. Sie sind ja wahrscheinlich nicht der einzige Interessent.
Also: Sich immer auch in die Lage des Gegenüber versetzen.
Zum Schluss eine kleine Aufgabe für Sie:
Sie sind Vermieter und möchten eine Wohnung vermieten. Es meldet sich ein Ihnen völlig unbekannter Interessent. Er ist "bis auf Weiteres krank". Ansonsten ist er gerade in der Ausbildung.
Frage: Geben Sie ihm die Wohnung? (Insbesondere, wenn noch einige weitere Interessenten zur Verfügungstehen?
Ihre (ehrliche) Antwort, bitte.