Schufaauskunft

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Was erfäht ein Vermieter bei der Schufa?

Alle Forderungen, die Du bei irgendwelchen Gläubigern hast und die der Schufa gemeldet worden sind. Das können Mietschulden oder irgendwelche Rechnungen sein. Weiterhin ist dort erkennbar, ob Du dich in einem Insolvenzverfahren befindest, bzw. vielleicht auch mal eine EV abgegeben hast.

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Interessiert ihm hauptsächlich ob man jemals Mietschulden hatte?

Keine Ahnung, was deinen Vermieter interessiert. Ich persönlich schaue auf alle offenen Forderungen/Einträge, da dies in der Regel ein zuverlässiger Indikator für die Zahlungsmoral des Interessenten ist.

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Im Internet ließt man immer wieder,dass der Vermieter gar nicht rechtlich die Schufa des Vermieters abfragen darf

Der Vermieter kann eine Schufa-Auskunft einholen, sofern der Mietinteressent damit einverstanden ist. In deinem Eingangsbeitrag hast Du ja geschrieben, dass Du deine Einwilligung gegeben hast. Dahingehend ist alles i.O.

Ein Mietinteressent muss keine Schufa abgeben. Standardmäßig will diese aber jeder gescheite Vermieter sehen um zu wissen, ob es berechtigte Forderungen in Mietangelegenheiten gibt.
Wenn ein Mietinteressent diese Schufa nicht einreicht oder nicht die Erlaubnis abgibt, dass der Vermieter sich die Schufa ziehen darf, fällt der Mieter eben durch und wird ausortiert. Mietinteressenten gibt es genug, da muss sich sich nicht das Wagnis antun, einen potentiellen Mietnomaden ins Haus zu holen.