Nachweise für Arbeiten nach Auszug

Wohnung besenrein

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Als Leistungszahler, werde ich doch erfahren dürfen das die Leistung auch vollbracht wurde.

Korrekt. Grundsätzlich hat hier eine ordnungsgemäße Abrechnung zu erfolgen. Hierzu gehört auch die Zusendung einer entsprechenden Rechnung als Nachweis der durchgeführten Arbeiten. Es sei denn, eine pauschale Abgeltung dieser Maßnahmen war schriftlich vereinbart.

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Gehört die Heizkörperreinigung zu meinen Pflichten?

von außen ja, von innen eher nein. Ich denke nicht, dass es einem Mieter zuzumuten ist, den Heizkörper auseinander zu bauen, um diesen zu reinigen.

Die HK-Reinigung gehört nicht zu Deinen Pflichten bei besenreiner Übergabe.

Der abgeplatzte Lack könnte als Sachbeschädigung abgeurteil werden, denn ohne Gewalteinwirkung platzt Lack i. d. R. nicht ab.
Der Vermieter sollte jedoch als Beleg der Kosten ein Angebot oder eine Rechnung vorlegen.
Ein Angebot reicht aus, da er auch fiktive Kosten abrechnen darf, allerdings ohne MwSt. Fiktive Kosten sind kosten, die entstehen würden, wenn er eine Firma beauftragen würde, es aber selber macht. Da diese Kosten natürlich nicht tatsächlich bezahlt wurden (Zahlungsfluss) darf er auch keine MwSt. geltend machen.
Hat er eine Rechnung, ist er da sogar noch besser dran, weil er da den kompletten Bruttobetrag geltend machen kann.

Nach einigem hin und her, habe ich die beiden Angebote, welche die Reparatur des Heizkörperschadens (Lack + Leistung) akzeptiert, unter der Voraussetzung das ich die Nachweise für die Leistung erhalte.

Die Nachweise sollten Sie auf jeden Fall als Quittung einfordern.
Das der Vermieter das selbst bei der Steuererklärung geltend macht, wollen Sie doch nicht unterstützen.
Den Arbeitsnachweis benötigen Sie vielleicht ebenfalls für die Angabe von haushaltnahen Dienstleistungen.
Ob sich das ganze hier lohnt, kann ich nicht beurteilen. Aber hinterherschmeißen muß man pingeligen Vermietern auch nichts.

Ich verstehe unter HK-Innenreinigung nur die Entfernung von Staub und Flusen zwischen den Rippen.

Die Reparaturen müssen NICHT tatsächlich erfolgen.
Deshalb MUSS eine Reparatur auch nicht nachgewiesen werden.
Er kann eine fiktive Abrechnung erstellen, was die Beseitigung des Schadens kosten WÜRDE, allerdings nur netto, ohne MwSt./USt.
Dieser Nettobetrag ist das, was dem Vermieter als Sachschaden entstanden ist und dieser Sachschaden ist vom Mieter zu erstatten.
Als Basis für eine fiktive Abrechnung KÖNNEN Angebote von Firmen sein, aber auch Materialkosten und ein fiktiver Stundenlohn, wenn der Vermieter den Schaden als Person selber behebt.