Muss ich dem Bruder der Vermieterin einen Schlüssel geben?

Wir wohnen in einem 2-Familien-Haus zur Miete. Das Haus gehört zur Hälfte unserer Vermieterin und zur anderen Hälfte ihrem Bruder. Man kommt nur durch unsere Wohnung oder unsere Garage in den Heizungsraum. Mit dem Bruder der Vermieterin reden wir nicht mehr, weil der gute Mann uns "durch die Blume" unterstellt hat Heizöl aus dem Tank zu klauen, weil der Verbrauch angeblich zu hoch ist. Heute ist unsere Whg mal wieder kalt, wahrscheinlich kein Heizöl mehr. Ich habe die Vermieterin angerufen und sie hat erst mal einen Aufstand gemacht, dass es nicht sein kann, dass kein Öl mehr da wäre. Dann meinte sie, ich muss ihrem Bruder einen Schlüssel geben, damit er durch die Garage in den Heizungskeller kann, falls er etwas nachschauen möchte wenn wir nicht da sind. Durch die Garage kommt man aber in unsere Whg.
Muss ich dem Bruder wirklich einen Schlüssel geben?

Also erst mal muss ich dem Bruder gar nichts beweisen, der Heizungskeller ist abgeschlossen und die Schlüssel hat er. Ich muss mich sicher nicht mit dem guten Mann auseinandersetzen, denn wenn er solche Behauptungen aufstellt sollte er das beweisen. Die Tür des Heizungskellers ist nicht beschädigt, wie soll ich denn bitte da rein kommen?
Es geht mir nicht darum dem Bruder eins auszuwischen, er kann gerne jederzeit in den Heizungsraum wenn ich zu Hause bin. Nur will ich einfach nicht, dass jemand in meiner Wohnung rumrennt wenn ich nicht da bin. Es ging jetzt nicht darum dass er nicht rein darf um das Problem zu beheben. Ich bin ja heute zu Hause und hab ihn auch brav in den Keller gelassen. Ich sehe aber nicht ein, dass ich ihm rein vorsorglich einen Schlüssel geben muss.

Danke für die Antwort Kolinum.
Wenn bei uns länger niemand zu Hause ist hat ein Nachbar ,dem ich vertraue, einen Schlüssel für Notfälle.