Laut BGB muss die Miete bis zum dritten Werktag des Monats auf dem Konto des Vermieters sein. Das ist Gesetz und etwas anderes gilt nur, wenn eine anderslautende Vereinbarung, z.B. zum 10. des Monats, im Mietvertrag vereinbart wäre.
So lange Sie dieses Thema mit der verspäteten Miete nicht geklärt haben, werden Sie sich sicherlich schwer tun mit den angeführten Mängeln. Da man aber gegen Schimmel, der sich innen an Außenwänden breit macht nur von außen mit entsprechender Dämmung vorgehen kann, sollten Sie einen Umzug in eine gut gedämmte Wohnung (Energieausweis!!) ins Auge fassen.