M.E. darf der Vermieter die Kosten nur dann umlegen, wenn es sich um Räume handelt, die für alle Mieter gleichsam zugänglich sind - in dem Fall würde das also den Innenhof betreffen, nicht jedoch das Nachbarhaus.
Die Vermutung liegt ja nahe, dass es sich um ein und dieselbe Person handelt, die ihren Müll sowohl im als auch hinter dem Nachbarhaus nicht richtig entsorgt, oder? Dann würde ich versuchen zu beweisen, um wen es sich dabei handelt bzw. dass es sich um dich nicht handeln kann, da du ja nicht im betroffenen Haus wohnst.
Vielleicht kannst du dich auch bei deinen Nachbarn umhören und den Zustand fotografisch dokumentieren, wenn es wieder passiert ist - so habe ich es jedenfalls gemacht, nachdem irgendwelche Nachbarn im Haus den Vorraum im Keller zugemüllt hatten. Die einzelnen Kellerabteile waren daraufhin nur noch eingeschränkt zugänglich, woraus sich ein Nachteil für die anderen Mieter (inklusive mir) ergeben hat.
Auch wenn du dann möglicherweise die "Petze" im Haus bist, würde ich mir die jetzige Situation nicht gefallen lassen. Vor allem, wenn du bweisen kannst, dass du als Verursacher ausscheidest.