Bei Einzug der Freundin Untermietvertrag?

Eine Genossenschaft ist ein etwas anderer Vermieter als üblich. Schau in die Satzung, die dir beim Einzug ausgehändigt wurde, was dort zum Thema Zuzug einer Person geschrieben steht.

§ 553 BGB - Gestattung der Gebrauchsüberlassung an Dritte

(1) Entsteht für den Mieter nach Abschluss des Mietvertrags ein berechtigtes Interesse, einen Teil des Wohnraums einem Dritten zum Gebrauch zu überlassen, so kann er von dem Vermieter die Erlaubnis hierzu verlangen. Dies gilt nicht, wenn in der Person des Dritten ein wichtiger Grund vorliegt, der Wohnraum übermäßig belegt würde oder dem Vermieter die Überlassung aus sonstigen Gründen nicht zugemutet werden kann.

(2) Ist dem Vermieter die Überlassung nur bei einer angemessenen Erhöhung der Miete zuzumuten, so kann er die Erlaubnis davon abhängig machen, dass der Mieter sich mit einer solchen Erhöhung einverstanden erklärt.

(3) Eine zum Nachteil des Mieters abweichende Vereinbarung ist unwirksam.

Wenn Sie eine Genehmigung zur Untervermietung haben, besteht nur ein Rechtsverhältnis zwischen Ihnen und Ihrem Untermieter.

"Weiterhin möchte die Wohnungswirtschaft eine Mietschuldenfreiheitsbescheinigung, eine Kopie des Ausweises sowie eine Bescheinigung über Einkommensverhältnisse."

Damit ist diese Forderung illegal und es liegt also in Ihrer Hand, die richtige Entscheidung zu treffen.

Mieter-Verein Saarlouis Untere Saar e.V.: Aufnahme von weiteren Personen in die Mietwohnung

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Weiß das jemand, warum sie die Miete bei Einzug einer Lebensgefährtin mit Untermietvertrag erhöhen dürfen?

Die Antwort wurde Dir doch schon von Kolinum beantwortet. Das ist eine gesetzliche Grundlage und hängt u.a. mit einem erhöhten "Verschleiß" der Mietsache zusammen.

Hier bleibt aber festzuhalten, dass der Vermieter diese Erhöhung begründen muss.

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Sie könnten auch 100 oder 200 EUR nehmen für einen Untermietvertrag.

Nein, könnten sie nicht, da der Betrag angemessen sein muss. Ich denke, dass 10 EUR hier schon die Höchstgrenze sind.

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Und ist bei Einzug eines Lebenspartners überhaupt ein Untermietvertrag erforderlich?

Nicht zwingend. Rechtlich gesehen, wäre ein Einzug deiner Freundin aber auch nichts anderes als ein mündliches Untermietverhältnis, da Du alleiniger Hauptmieter bist.

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Soweit ich jetzt weiß, muss man dem Vermieter den Einzug mitteilen und dieser muss es erlauben

Ganz so einfach ist es dann doch nicht. Grundsätzlich kann ein Vermieter einem Einzug nur dann widersprechen, wenn in der Person ein wichtiger Grund vorliegt, bzw. hier eine Überbelegung zur Folge hätte.
Untersagt der Vermieter eine Untervermietung, heißt das aber längst nicht, dass Sie einfach einziehen kann. Vielmehr ergibt sich dann hieraus ein Sonderkündigungsrecht für Dich (§ 540 BGB).
Aber dein Vermieter hat die Untervermietung ja gar nicht untersagt, oder?

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Kann er diese Erlaubnis an einen Untermietvertrag knüpfen bzw. an eine Änderung des Mietvertrages (Freundin wird mit eingetragen)?

Ja, kann er.

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Kann der Vermieter bei Nachzug meiner Freundin von ihr die geforderten Nachweise verlangen?

Was heißt er kann? Wenn Deine Freundin das nicht will, wird der Vermieter sie nicht in den Vertrag aufnehmen.

Grundsätzlich haftet ihr (wenn die Freundin aufgenommen wird) gesamtschuldnerisch für das Mietverhältnis. Der Vermieter wird dahingehend sicher die Bonität der Freundin prüfen wollen, um einschätzen zu können, dass im Extremfall was bei deiner Freundin zu holen ist.