Liegt eine solche Bescheinigung vor, bedeutet das aber auch, dass die Kündigung sofort erfolgen soll. Es ist nicht glaubhaft, dass der Auszug dringend sein soll, wenn man dann doch noch warten kann, bis eine andere Wohnung gefunden ist. Denn dann käme es auf die Kündigungsfrist auch nicht mehr an.
Grundsätzlich gibt es eine solche Ausübungsfrist schon, wobei die mehrere Monate beträgt und nicht nur paar Wochen, meistens zwischen 3-6 Monate. Dabei ist aber auch auf den Einzelfall abzustellen, gerade wenn aktiv nach Ersatzwohnraum gesucht wird, wird man nicht von einer Verwirkung ausgehen können. Aber dann ist auch die Frage, wie oft wird eine Frist gesetzt, bemüht sich der Mieter weiter um eine Beseitigung seitens des Vermieters usw.
Aber innerhalb des § 569 I BGB gibt es eine solche Verwirkung nach ganz überwiegender Rechtsprechung nicht, da damit der Sinn und Zweck der Vorschrift völlig unterlaufen werden würde. Der BGH hat auch den Hinweis gegeben, dass das nach 9 Monaten noch möglich wäre, soweit nochmals eine Frist gesetzt wird, BGH, Hinweisbeschluss vom 13. 4. 2010 - VIII ZR 206/09.
Nun, ich weiß nicht, was eine nachweisbare ärztliche Einschätzung ist, aber ich denke ein Attest darüber, sollte ausreichend sein. (Oder sehe ich da irgendwas falsch? - Wir haben eins vom Kinderarzt, sowie von unserem Arzt.)
Am Ende wird ein gerichtliches Gutachten eingeholt und da wird nur geprüft, ob der Zustand der Wohnung eine erhebliche Gesundheitsgefährdung begründet. Da solche Gutachten teuer sind und immer ein Kostenrisiko im Prozess darstellen lohnt sich eine Rechtsschutzversicherung.