Ich stimme Berny zu 100 % zu.
Wenn ein zukünftiger Mieter die Schlüssel früher bekommen möchte, um z. B. zu renovieren, auszumessen, Möbel zu setzen, etc., dann fällt eine Nutzungsentschädigung an. Die Überlassung der Wohnung an den Mieter ist nicht unentgeltlich zu erwarten.
Da würde ich mich als Vermieter auf den §612 (1) BGB beziehen. Da über die Höhe nichts gesagt wurde, würde ich die Höhe des anschließenden Mietvertrages als Basis nehmen.
Ich würde jedoch nicht davon ausgehen, dass der Vermieter für den gesamten Monat eine Nutzungsentschädigung verlangen kann, sondern nur Tagesgenau, also ab dem Tag, an dem Ihr die Schlüssel bekommen habt.
Wenn ich das neue BGH-Urteil zur Verwendung von Kautionen richtig verstehe, ist es nicht zulässig, während eines laufenden Mietverhältnisses Kautionen zum Ausgleich von Mietforderungen zu verwenden. Die Kaution darf nicht angefasst werden. So meine ich es im "Grundeigentum" gelesen zu haben. müsste ich aber auch erst wieder nachschlagen.