Konstruktiver Rat bzw. Hinweis eine mögliche Ursache der hohen Nachzahlung:
Du bist im August eingezogen. Hattest also nur 2 heizfreie Monate. Ab Oktober können die tatsächlichen Heizkosten 2 - 3 x so hoch sein wie die gezahlten. Hinzu kommt noch das Heizkosten nicht zu 100 % nach Verbrauch abgerechnet werden. Sondern nur zu 30 oder 50 %, der Rest nach Wohnfläche.
Die Heizkörper immer konstant auf einer Stufe lassen ist schon richtig. Weiterhin solltest Du auch wirklich alle Heizkörper betreiben und nicht versuchen mit nur einem oder zwei die ganze Wohnung zu beheizen.
Die Auskunft der "desinteressierten Dame" ist natürlich Humbug. Was Du noch machen kannst, beim Vermieter bzw. der HV Einsicht in die Originalbelege nehmen.
Und noch eins. Knapp 34 € sind für Heizung und Warmwasseraufbereitung etwas wenig als Vorauszahlung. Bei der Wohnfläche hätten es es besser 40 - 45 € sein sollen.