Ob die Hausverwaltung eurer Vermieterin etwas in Rechnung stellen kann, lässt sich nicht allgemein beantworten. Denn es kommt hier darauf an, was genau im Verwaltervertrag an Leistungen vereinbart sind. Einige Dinge sind mit einer monatlichen Pauschale abgegolten, und andere Aufgaben können separat berechnet werden.
Ihr als Mieter könnt mit den Kosten regulär nicht belastet werden. Denn das sind Verwaltungskosten, die nach dem Gesetz nie umlagefähig sind. Eventuell könnte eure Vermieterin das aber in Form eines Schadenersatzanspruchs fordern, sofern ihr euch mit der Aufstellung vertragswirdrig verhalten haben solltet. Letzteres ist aber unwahrscheinlich, da eure Vermieterin offenbar mit der Aufstellung einverstanden war, wenn ich das richtig heraus gelesen habe.
Ein solcher Aufstellpool kann durchaus eine Sondernutzung darstellen, auch wenn er nicht fest verankert ist. Denn es ist von seiner Größe her vermutlich nicht vorgesehen, ihn jeden Abend nach der Benutzung wieder abzubauen, sondern man lässt ihn stehen. Und das reicht schon, dass es keine reine Gartennutzung mehr ist, sondern eine Sondernutzung.