Darkshadow hat es dir schon erklärt. Gern nochmal mit anderen Worten.
Der Vermieter hat kein Datum beim Einzug benannt, bis wann die Arbeiten fertig sind. Er hat diesbezüglich also nichts versprochen, was er nun noch nicht eingehalten hat. Anders gesagt, der Vermieter muss mit den Arbeiten erst mal im Verzug sein, was er wegen eines fehlenden Datums noch nicht ist.
Um nun irgend welche Rechte nutzen zu können, muss der Vermieter erst mal in Verzug gesetzt werden. Damit ist gemeint, dass man ihn auffordert, die Arbeiten zu erledigen. Man kann dafür ein Datum benennen, muss man aber nicht. Wenn man sagt, man erwartet die baldige Fertigstellung, dann ist das auch eine Aufforderung, durch die der Vermieter in Verzug gerät.
Erst wenn sich dann der Vermieter in Verzug befindet, kann man weitere Maßnahmen einleiten, eventuell die Ersatzvornahme, also dass man sich auf Kosten es Vermieters selbst um die Sachen kümmert, oder man verklagt ihn auf Fertigstellung. Das muss man sich dann überlegen.
Wenn du dir über das Vorgehen unsicher bist, dann lass dich bitte von einem Anwalt oder Mieterverein beraten. Wir können hier nur allgemeine Prinzipien erläutern, aber keine Anleitung des genauen Vorgehens geben.